Упр.505 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Какое множество точек задаётся неравенством:
   а) $$(x+1)^2+(y-3)^2?10$$; б) $$x^2-6x+y^2+2y+13>0$$; в) $$x^2+y^2-4x-8y?0$$; г) $$x^2+2x+y^2+10y+22?0$$?
2. Диагональ прямоугольника равна 10 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить на 2 см, а большую уменьшить на 2 см, то диагональ не изменится. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим меньшую сторону прямоугольника через $$x$$ см, а большую — через $$y$$ см.

По условию диагональ равна $$10$$ см, значит:

$$x^2+y^2=100.$$

Если меньшую сторону увеличить на $$2$$ см, а большую уменьшить на $$2$$ см, то диагональ не изменится:

$$\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2}=10.$$

Возведём в квадрат:

$$(x+2)^2+(y-2)^2=100$$

$$x^2+4x+4+y^2-4y+4=100$$

$$x^2+y^2+4x-4y+8=100$$

Подставим $$x^2+y^2=100$$:

$$100+4x-4y+8=100$$

$$4x-4y=-8$$

$$x-y=-2$$

$$y=x+2.$$

Подставим это в первое уравнение:

$$x^2+(x+2)^2=100$$

$$x^2+x^2+4x+4=100$$

$$2x^2+4x-96=0$$

$$x^2+2x-48=0$$

$$D=2^2-4\cdot1\cdot(-48)=196$$

$$x=\frac{-2\pm14}{2}$$

Получаем $$x_1=6$$ или $$x_2=-8$$. Отрицательное значение не подходит, значит $$x=6$$.

Тогда

$$y=x+2=8.$$

Ответ

$$6\text{ см и }8\text{ см}.$$