Упр.431 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}xy-2x=-2,\\y-xy=9;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-2xy=-10,\\y+xy=2;\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}x+y+xy=7,\\x-y-2xy=-4;\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}3x+y+2xy=-6,\\x+y+xy=-6.\end{cases}$$
Решите неравенство:
а) $$\left(|x-2|-4\right)\left(|x-3|-6\right)<0;$$
б) $$\left(|x+1|-3\right)\left(|x-5|+10\right)>0.$$

Подробный ответ

а) Рассмотрим произведение $$\left(|x-2|-4\right)\left(|x-3|-6\right)<0.$$

Произведение отрицательно тогда и только тогда, когда множители разных знаков. Найдём, где каждый множитель отрицателен:

$$|x-2|-4<0 \;\Rightarrow\; |x-2|<4 \;\Rightarrow\; -4<x-2<4 \;\Rightarrow\; -2<x<6,$$
$$|x-3|-6<0 \;\Rightarrow\; |x-3|<6 \;\Rightarrow\; -6<x-3<6 \;\Rightarrow\; -3<x<9.$$

Тогда первый множитель отрицателен на $$(-2;6),$$ а второй — на $$(-3;9).$$

Чтобы произведение было меньше нуля, нужно, чтобы один множитель был отрицателен, а другой положителен. Это даёт:

$$(-3;-2)\cup(6;9).$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(|x+1|-3\right)\left(|x-5|+10\right)>0.$$

Второй множитель всегда положителен, так как

$$|x-5|+10>0$$

при любом $$x.$$ Значит, знак произведения определяется только первым множителем:

$$|x+1|-3>0 \;\Rightarrow\; |x+1|>3.$$

Решаем модульное неравенство:

$$x+1>3 \;\Rightarrow\; x>2,$$
$$x+1<-3 \;\Rightarrow\; x<-4.$$

Следовательно,

$$(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$