Упр.429 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите систему уравнений:
а) $$\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{3}{8},\\x+y=12;\end{cases}$$
б) $$\begin{cases}x-y=4,\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=-\frac{4}{5};\end{cases}$$
в) $$\begin{cases}\frac{2}{y-1}+\frac{3}{x+1}=\frac{5}{2},\\\frac{1}{x-2}=-\frac{3}{y};\end{cases}$$
г) $$\begin{cases}\frac{1}{y+1}=\frac{2}{x-1},\\\frac{4}{x+2}+\frac{1}{y-1}=\frac{1}{3}.\end{cases}$$ - Найдите координаты точек пересечения графиков функций:
а) $$y=x^2-5|x|+6$$ и $$y=|x-6|$$;
б) $$y=|x^2+3x-10|$$ и $$y=x^2-10$$.
а) Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2-5|x|+6$$ и $$y=|x-6|.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$x \le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ $$|x-6|=6-x.$$ Тогда
$$x^2+5x+6=6-x$$
$$x^2+6x=0$$
$$x(x+6)=0$$
Отсюда $$x=-6$$ или $$x=0.$$
Найдём ординаты:
$$y=|x-6|$$
При $$x=-6$$: $$y=|-12|=12.$$
При $$x=0$$: $$y=|-6|=6.$$
Получаем точки $$(-6; 12)$$ и $$(0; 6).$$
2) Если $$0<x\le 6,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-6|=6-x.$$ Тогда
$$x^2-5x+6=6-x$$
$$x^2-4x=0$$
$$x(x-4)=0$$
Отсюда $$x=4$$ (значение $$x=0$$ уже учтено). Тогда
$$y=|4-6|=2.$$
Получаем точку $$(4; 2).$$
3) Если $$x>6,$$ то $$|x|=x,$$ $$|x-6|=x-6.$$ Тогда
$$x^2-5x+6=x-6$$
$$x^2-6x+12=0.$$
Дискриминант:
$$D=36-48=-12<0.$$
Решений нет.
б) Найдём точки пересечения графиков $$y=|x^2+3x-10|$$ и $$y=x^2-10.$$
Так как $$|x^2+3x-10|\ge 0,$$ то для пересечения должно быть $$x^2-10\ge 0,$$ то есть
$$x\le -\sqrt{10} \quad \text{или} \quad x\ge \sqrt{10}.$$
Решим уравнение
$$|x^2+3x-10|=x^2-10.$$
1) Если $$x^2+3x-10\ge 0,$$ то
$$x^2+3x-10=x^2-10$$
$$3x=0,\quad x=0.$$
Но при $$x=0$$ имеем $$x^2-10=-10<0,$$ значит, это не подходит.
2) Если $$x^2+3x-10<0,$$ то
$$-(x^2+3x-10)=x^2-10$$
$$-x^2-3x+10=x^2-10$$
$$2x^2+3x-20=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-20)=9+160=169.$$
$$x=\frac{-3\pm 13}{4}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac52.$$
Проверим значения функции $$y=x^2-10$$:
при $$x=-4$$: $$y=16-10=6;$$
при $$x=\frac52$$: $$y=\frac{25}{4}-10=-\frac{15}{4},$$ что не подходит, так как $$y<0.$$
Значит, подходит только точка $$(-4; 6).$$
Ответ
а) $$(-6; 12),\ (0; 6),\ (4; 2);$$ б) $$(-4; 6).$$
