Упр.366 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При каких значениях $$m$$ все точки графика функции $$y=x^2+2(m-1)x+m(1-m)$$ расположены выше оси $$x$$?
2. При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$(3x+p+2)^2-(3x-p+1)^2=12x+4$$ имеет: а) отрицательный корень; б) корень, принадлежащий промежутку $$(-0{,}5; 0{,}5)$$?

Раскроем скобки в уравнении:

$$(3x+p+2)^2-(3x-p+1)^2=12x+4$$

Используем формулу разности квадратов:

$$\bigl((3x+p+2)-(3x-p+1)\bigr)\bigl((3x+p+2)+(3x-p+1)\bigr)=12x+4$$

$$(2p+1)(6x+3)=12x+4$$

$$12px+6p+6x+3=12x+4$$

$$6x(2p-1)=1-6p$$

Если $$p=\frac12$$, то получаем $$0= -2$$, что невозможно. Значит, $$p\ne \frac12$$, и тогда

$$x=\frac{1-6p}{6(2p-1)}.$$

а) Требуется, чтобы корень был отрицательным:

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<0$$

Так как $$6>0$$, достаточно решить

$$\frac{1-6p}{2p-1}<0.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$p<\frac16 \quad \text{или} \quad p>\frac12.$$

б) Требуется, чтобы корень принадлежал промежутку $$(-0{,}5;0{,}5)$$:

$$-\frac12<\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac12.$$

Решим двойное неравенство.

1) $$\frac{1-6p}{6(2p-1)}>-\frac12$$

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}+\frac12>0$$

$$\frac{1-6p+3(2p-1)}{6(2p-1)}>0$$

$$\frac{-2}{6(2p-1)}>0$$

$$2p-1<0,\quad p<\frac12.$$

2) $$\frac{1-6p}{6(2p-1)}<\frac12$$

$$\frac{1-6p}{6(2p-1)}-\frac12<0$$

$$\frac{1-6p-3(2p-1)}{6(2p-1)}<0$$

$$\frac{4-12p}{6(2p-1)}<0$$

$$\frac{2-6p}{2p-1}<0$$

Отсюда

$$p<\frac13 \quad \text{или} \quad p>\frac12.$$

Совмещая с условием $$p<\frac12$$, получаем

$$p<\frac13.$$

Ответ

а) $$p\in\left(-\infty;\frac16\right)\cup\left(\frac12;+\infty\right);$$

б) $$p\in\left(-\infty;\frac13\right).$$