Упр.219 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ каждое решение неравенства $$2x^2-x-3<0$$ является решением неравенства $$3x-2a>0$$?
   а) $$2x^2-x-3<0$$ является решением неравенства $$3x-2a>0$$;
   б) $$x^2-2{,}5x-6<0$$ является решением неравенства $$5a-2x>0$$?
2. Решите уравнение:
   а) $$(y-1)^4+(y+1)^4=16$$;
   б) $$(t-3)^4+(t+1)^4=256$$.

а)

$$(y-1)^4+(y+1)^4=16$$
Раскроем скобки:
$$(y^4-4y^3+6y^2-4y+1)+(y^4+4y^3+6y^2+4y+1)=16$$
$$2y^4+12y^2+2=16$$
$$2y^4+12y^2-14=0$$
$$y^4+6y^2-7=0$$
Обозначим $$z=y^2$$. Тогда получаем:
$$z^2+6z-7=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-7)=36+28=64$$
$$z_{1,2}=\frac{-6\pm 8}{2}$$
$$z_1=-7,\quad z_2=1$$
Так как $$z=y^2\ge 0$$, значение $$z=-7$$ не подходит. Тогда
$$y^2=1$$
$$y=\pm 1$$

б)

$$(t-3)^4+(t+1)^4=256$$
Раскроем скобки:
$$(t^4-12t^3+54t^2-108t+81)+(t^4+4t^3+6t^2+4t+1)=256$$
$$2t^4-8t^3+60t^2-104t+82=256$$
$$2t^4-8t^3+60t^2-104t-174=0$$
$$t^4-4t^3+30t^2-52t-87=0$$
Разложим на множители:
$$t^4-4t^3+30t^2-52t-87=(t+1)(t-3)(t^2-2t+29)$$
Тогда
$$(t+1)(t-3)(t^2-2t+29)=0$$
Отсюда
$$t=-1 \quad \text{или} \quad t=3$$
Уравнение $$t^2-2t+29=0$$ действительных корней не имеет, так как
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 29=4-116<0$$

Ответ

а) $$y=-1,\ 1$$;
б) $$t=-1,\ 3$$.