Упр.203 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. При каких значениях $$b$$ сумма дробей: а) $$\frac{3b^2+1}{2b}$$ и $$\frac{8b}{3b^2+1}$$ равна 4; б) $$\frac{2b^2+2}{b}$$ и $$\frac{5b}{b^2+1}$$ равна 7?
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что не имеет рациональных корней уравнение: а) $$x^5-x^2+3=0$$; б) $$x^5-3x^3+x-2=0$$.
Проверим значения многочленов при целых делителях свободного члена. Если у уравнения с целыми коэффициентами есть рациональный корень, то он должен быть целым делителем свободного члена.
а) Рассмотрим уравнение $$x^5-x^2+3=0.$$
Свободный член равен $$3,$$ значит возможные рациональные корни: $$\pm 1,\ \pm 3.$$
Подставим их в левую часть:
$$\begin{aligned} f(1)&=1-1+3=3,\\ f(-1)&=-1-1+3=1,\\ f(3)&=243-9+3=237,\\ f(-3)&=-243-9+3=-249. \end{aligned}$$
Ни при одном из возможных значений многочлен не обращается в нуль, значит рациональных корней нет.
б) Рассмотрим уравнение $$x^5-3x^3+x-2=0.$$
Свободный член равен $$-2,$$ значит возможные рациональные корни: $$\pm 1,\ \pm 2.$$
Подставим их в левую часть:
$$\begin{aligned} f(1)&=1-3+1-2=-3,\\ f(-1)&=-1+3-1-2=-1,\\ f(2)&=32-24+2-2=8,\\ f(-2)&=-32+24-2+2=-8. \end{aligned}$$
Ни одно из этих чисел не является корнем уравнения, следовательно, рациональных корней нет.
Ответ
а) рациональных корней нет; б) рациональных корней нет.
