Упр.175 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Решите уравнение, разложив его левую часть на множители методом неопределённых коэффициентов:
а) $$2x^4-4x^3+x^2-6x-3=0$$;
б) $$3x^4+3x^3-8x^2+x-3=0$$;
в) $$2x^4+7x^3+x^2-8x+2=0$$;
г) $$2x^4+5x^3-5x^2-13x-4=0$$. - Найдите область значений функции:
а) $$f(x)=\frac{x^2+4}{2x}$$;
в) $$f(x)=1-\sqrt{9-|x-2|}$$;
б) $$f(x)=\frac{3x-1}{x-2}$$;
г) $$f(x)=3-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}$$.
а) Пусть $$y=\frac{x^2+4}{2x}.$$ Тогда
$$2xy=x^2+4,$$
$$x^2-2yx+4=0.$$
Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=(2y)^2-4\cdot 4\ge 0,$$
$$4y^2-16\ge 0,$$
$$y^2-4\ge 0,$$
$$(y-2)(y+2)\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge 2.$$
Значит, область значений:
$$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$
б) Пусть $$y=\frac{3x-1}{x-2}.$$ Тогда
$$y(x-2)=3x-1,$$
$$yx-2y=3x-1,$$
$$x(y-3)=2y-1.$$
Если $$y\ne 3,$$ то
$$x=\frac{2y-1}{y-3}.$$
Значит, любое значение $$y$$ возможно, кроме $$y=3$$.
Следовательно,
$$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
в) Пусть $$y=1-\sqrt{9-|x-2|}.$$
Так как $$0\le |x-2|,$$ то
$$9-|x-2|\le 9,$$
а при существовании корня
$$0\le \sqrt{9-|x-2|}\le 3.$$
Тогда
$$-3\le -\sqrt{9-|x-2|}\le 0,$$
$$-2\le 1-\sqrt{9-|x-2|}\le 1.$$
Следовательно,
$$[-2;1].$$
г) Пусть $$y=3-\frac{1}{\sqrt{x-2}+1}.$$
Обозначим $$t=\sqrt{x-2}.$$ Тогда $$t\ge 0,$$ и
$$y=3-\frac{1}{t+1}.$$
Так как $$t+1\ge 1,$$ то
$$0<\frac{1}{t+1}\le 1,$$
значит
$$-1\le -\frac{1}{t+1}<0,$$
$$2\le 3-\frac{1}{t+1}<3.$$
Следовательно, область значений:
$$[2;3).$$
Ответ
а) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty)$$; б) $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty)$$; в) $$[-2;1]$$; г) $$[2;3).$$
