Упр.173 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Зная, что один из корней уравнения $$4x^4-12x^3+13x^2-12x+a=0$$ равен $$2$$, найдите $$a$$ и другие корни уравнения.
- Используя свойства монотонных функций, решите уравнение:
а) $$\sqrt{x^4+x^2+2}+\sqrt{5x^2-1}+\sqrt{x^2+8}=7$$;
б) $$\sqrt{x^4+19}+\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^2-8}=15$$.
а) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt{x^4+x^2+2}+\sqrt{5x^2-1}+\sqrt{x^2+8}.$$
Так как в выражении стоят только чётные степени $$x$$, то функция чётная: $$f(-x)=f(x).$$
При $$x \ge 0$$ все подкоренные выражения не убывают, значит $$f(x)$$ возрастает.
Проверим значение при $$x=1$$:
$$f(1)=\sqrt{1+1+2}+\sqrt{5-1}+\sqrt{1+8}=\sqrt4+\sqrt4+\sqrt9=2+2+3=7.$$
Следовательно, $$x=1$$ — решение. Так как функция чётная, то $$x=-1$$ тоже решение.
б) Рассмотрим функцию
$$f(x)=\sqrt{x^4+19}+\sqrt{x^2+7}+\sqrt{x^2-8}.$$
Функция чётная, так как зависит только от $$x^2$$ и $$x^4$$.
При $$x \ge 0$$ она возрастает. Проверим значение при $$x=3$$:
$$f(3)=\sqrt{81+19}+\sqrt{9+7}+\sqrt{9-8}=\sqrt{100}+\sqrt{16}+\sqrt1=10+4+1=15.$$
Значит, $$x=3$$ — решение. По чётности функции получаем также $$x=-3$$.
Ответ
а) $$x=-1,\;1$$
б) $$x=-3,\;3$$
