Упр.163 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$x^3+5x^2+7x+3=0$$;
   в) $$y^3-y^2-8y+12=0$$;
   б) $$x^3+2x^2-4x+1=0$$;
   г) $$y^3-y^2-14y+24=0$$.
2. Докажите, что функция:
   а) $$y=\frac{7x-31}{x-5}$$ убывает на промежутке $$\left(5;+\infty\right)$$;
   б) $$y=\frac{6x-17}{x-2}$$ возрастает на промежутке $$\left(-\infty;0\right]$$.

а) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{7x-31}{x-5}=\frac{7(x-5)+4}{x-5}=7+\frac{4}{x-5}.$$

На промежутке $$\left(5;+\infty\right)$$ выражение $$x-5>0$$, значит функция $$\frac{1}{x-5}$$ убывает. Тогда и функция $$\frac{4}{x-5}$$ убывает, а прибавление числа $$7$$ не меняет монотонность. Следовательно, $$y=7+\frac{4}{x-5}$$ убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$.

б) Преобразуем функцию:

$$y=\frac{6x-17}{x-2}=\frac{6(x-2)-5}{x-2}=6-\frac{5}{x-2}.$$

На промежутке $$(-\infty;0]$$ имеем $$x-2<0$$, поэтому функция $$\frac{1}{x-2}$$ убывает, а значит $$-\frac{5}{x-2}$$ возрастает. Прибавление числа $$6$$ не меняет монотонность, следовательно, функция $$y=6-\frac{5}{x-2}$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$.

Ответ

а) $$y=\frac{7x-31}{x-5}$$ убывает на $$\left(5;+\infty\right)$$;

б) $$y=\frac{6x-17}{x-2}$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$.