Упр.15 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Сократите дробь $$\frac{(2x)^4 \cdot x^{-10}}{x^{-9} \cdot 5x^3}$$.
2. Докажите, что при неотрицательных значениях $$a$$ и $$b$$ верно неравенство $$(a+1)(b+1)(ab+1)>8ab$$.

Так как $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$, применим неравенство Коши в виде $$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$$.

Тогда

$$\frac{a+1}{2} \ge \sqrt{a\cdot 1} = \sqrt a,\qquad \frac{b+1}{2} \ge \sqrt b,\qquad \frac{ab+1}{2} \ge \sqrt{ab}.$$

Перемножим эти неравенства:

$$\frac{(a+1)(b+1)(ab+1)}{8} \ge \sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt{ab}.$$

Так как $$\sqrt a \cdot \sqrt b \cdot \sqrt{ab} = ab,$$, получаем

$$(a+1)(b+1)(ab+1) \ge 8ab.$$

Следовательно, неравенство верно.

Ответ

$$(a+1)(b+1)(ab+1) \ge 8ab.$$