Упр.148 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Какие рациональные числа могут быть корнями уравнения: а) $$2x^4+bx^3+cx+5=0$$; б) $$5x^4+bx^3+cx^2+dx+3=0$$?
2. Постройте график функции: а) $$y=\lvert 0{,}5x-1\rvert$$; б) $$y=\lvert 1-x^2\rvert$$; в) $$y=\lvert x^2+2x\rvert$$; г) $$y=\lvert \frac{4}{x}-2\rvert$$; д) $$y=\lvert -\frac{6}{x}+2\rvert$$; е) $$y=\lvert x^3\rvert$$.

1. а) $$y=\left|0{,}5x-1\right|=\left|\frac{x}{2}-1\right|.$$

   Найдём, где выражение под модулем меняет знак: $$\frac{x}{2}-1=0 \Rightarrow x=2.$$

   Тогда

   $$y= \begin{cases} 1-\frac{x}{2}, & x<2,\\ \frac{x}{2}-1, & x\ge 2. \end{cases}$$

   График — две лучевые прямые с вершиной в точке $$\left(2,0\right).$$

2. б) $$y=\left|1-x^2\right|.$$

   Рассмотрим знак выражения $$1-x^2.$$ Оно неотрицательно при $$-1\le x\le 1,$$ а при $$x<-1$$ и $$x>1$$ отрицательно.

   $$y= \begin{cases} 1-x^2, & -1\le x\le 1,\\ x^2-1, & x<-1 \text{ или } x>1. \end{cases}$$

   График получается отражением отрицательных участков параболы $$y=1-x^2$$ относительно оси $$Ox.$$ Нули функции: $$x=-1$$ и $$x=1,$$ вершина средней части — $$\left(0,1\right).$$

3. в) $$y=\left|x^2+2x\right|=\left|(x+1)^2-1\right|.$$

   Найдём нули выражения под модулем:

   $$x^2+2x=x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2 \text{ или } x=0.$$

   Знак выражения:

   $$y= \begin{cases} x^2+2x, & x\le -2 \text{ или } x\ge 0,\\ -x^2-2x, & -2<x<0. \end{cases}$$

   График проходит через точки $$(-2,0)$$ и $$\left(0,0\right),$$ а на промежутке $$(-2,0)$$ часть параболы отражается вверх.

4. г) $$y=\left|\frac{4}{x}-2\right|.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Найдём, где выражение под модулем равно нулю:

   $$\frac{4}{x}-2=0 \Rightarrow \frac{4}{x}=2 \Rightarrow x=2.$$

   Тогда

   $$y= \begin{cases} \frac{4}{x}-2, & 0<x\le 2 \text{ или } x<0,\\ 2-\frac{4}{x}, & x>2. \end{cases}$$

   График имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и проходит через точку $$\left(2,0\right).$$

5. д) $$y=\left|-\frac{6}{x}+2\right|=\left|2-\frac{6}{x}\right|.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Найдём нуль выражения под модулем:

   $$2-\frac{6}{x}=0 \Rightarrow 2=\frac{6}{x} \Rightarrow x=3.$$

   Тогда

   $$y= \begin{cases} 2-\frac{6}{x}, & x\le 3,\ x\ne 0,\\ \frac{6}{x}-2, & x>3. \end{cases}$$

   График имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$ и точку пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(3,0\right).$$

6. е) $$y=\left|x^3\right|.$$

   Так как $$x^3<0$$ при $$x<0$$ и $$x^3\ge 0$$ при $$x\ge 0,$$ получаем

   $$y= \begin{cases} -x^3, & x<0,\\ x^3, & x\ge 0. \end{cases}$$

   График — это график функции $$y=x^3$$, у которого часть при $$x<0$$ отражена относительно оси $$Ox.$$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} 1-\frac{x}{2}, & x<2,\\ \frac{x}{2}-1, & x\ge 2 \end{cases}$$
; б) $$y= \begin{cases} 1-x^2, & -1\le x\le 1,\\ x^2-1, & x<-1 \text{ или } x>1 \end{cases}$$
; в) $$y= \begin{cases} x^2+2x, & x\le -2 \text{ или } x\ge 0,\\ -x^2-2x, & -2<x<0 \end{cases}$$
; г) $$y= \begin{cases} \frac{4}{x}-2, & 0<x\le 2 \text{ или } x<0,\\ 2-\frac{4}{x}, & x>2 \end{cases}$$
; д) $$y= \begin{cases} 2-\frac{6}{x}, & x\le 3,\ x\ne 0,\\ \frac{6}{x}-2, & x>3 \end{cases}$$
; е) $$y= \begin{cases} -x^3, & x<0,\\ x^3, & x\ge 0 \end{cases}.$$