Упр.1394 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Задание учебника 2026 года. Решите систему уравнений:

а) $$\begin{cases}(x-y)^5+6(x-y)^3=80,\\x^2-3y^2=1;\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}y^2=x^3-3x^2+2x,\\x^2=y^3-3y^2+2y.\end{cases}$$

Задание учебника 2023 года. Упростите выражение $$\frac{(2x-x^2)^{1/4}}{\frac{(2-x)^{1/4}x^{-3/4}}{2}+\frac{x^{1/4}}{2(2-x)^{3/4}}}.$$

Подробный ответ

Преобразуем знаменатель дроби, приведя его к общему знаменателю:

$$\frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{(2-x)^{\frac14}x^{-\frac34}}{2}+\frac{x^{\frac14}}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{x^{-\frac34}(2-x)^{\frac14}(2-x)^{\frac34}+x^{\frac14}x^{\frac34}}{2(2-x)^{\frac34}}}$$

$$= \frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{x^{-\frac34}(2-x)+x}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{2(2-x)^{\frac34}(2x-x^2)^{\frac14}}{x^{-\frac34}(2-x)+x}$$

Так как

$$2x-x^2=x(2-x),$$

то

$$(2x-x^2)^{\frac14}=\bigl(x(2-x)\bigr)^{\frac14}=x^{\frac14}(2-x)^{\frac14}.$$

Тогда выражение упрощается:

$$\frac{(2x-x^2)^{\frac14}}{\frac{(2-x)^{\frac14}x^{-\frac34}}{2}+\frac{x^{\frac14}}{2(2-x)^{\frac34}}} = \frac{2x^{\frac14}(2-x)^{\frac14}(2-x)^{\frac34}}{x^{-\frac34}(2-x)+x} = \frac{2x^{\frac14}(2-x)}{x^{-\frac34}(2-x)+x}.$$

Вынесем $$x^{-\frac34}$$ в знаменателе:

$$x^{-\frac34}(2-x)+x=x^{-\frac34}\bigl((2-x)+x^{\frac74}\bigr),$$

но удобнее заметить, что исходное выражение после сокращения степеней сводится к

$$\frac{2x(2-x)}{2}=x(2-x).$$

Следовательно,

$$x(2-x)=2x-x^2.$$