Упр.137 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Известно, что функция $$y=f(x)$$ возрастает на промежутке $$(-\infty; -2]$$, убывает на промежутке $$[4; +\infty)$$ и сохраняет постоянное значение на промежутке $$[-2; 4]$$. Изобразите схематически графики функций $$y=f(x)$$ и $$y=f(-x)$$, если $$D(f)=\mathbb{R}$$.
- Докажите, что графики функций:
а) $$y=\frac{3x-7}{3x+7}$$ и $$y=\frac{3x+7}{3x-7}$$ симметричны относительно оси $$y$$;
б) $$y=\frac{10-2x}{10+2x}$$ и $$y=\frac{2x+10}{2x-10}$$ симметричны относительно точки $$O(0; 0)$$;
в) $$y=\frac{x^2-3x+8}{x^2+3x+8}$$ и $$y=\frac{x^2+3x+8}{x^2-3x+8}$$ симметричны относительно оси $$y$$;
г) $$y=\frac{x^3-8x+1}{x^3+8x+1}$$ и $$y=\frac{1+8x-x^3}{x^3+8x-1}$$ симметричны относительно точки $$O(0; 0)$$.
Для симметрии относительно оси $$y$$ нужно проверить, что $$f(-x)=g(x)$$.
$$f(x)=\frac{3x-7}{3x+7}, \qquad g(x)=\frac{3x+7}{3x-7}$$
$$f(-x)=\frac{-3x-7}{-3x+7}=\frac{3x+7}{3x-7}=g(x).$$
Значит, графики симметричны относительно оси $$y$$.
Для симметрии относительно точки $$O(0;0)$$ нужно проверить, что $$g(x)=-f(-x)$$.
$$f(x)=\frac{10-2x}{10+2x}, \qquad g(x)=\frac{2x+10}{2x-10}$$
$$-f(-x)=-\frac{10+2x}{10-2x}=\frac{2x+10}{2x-10}=g(x).$$
Следовательно, графики симметричны относительно точки $$O(0;0)$$.
Проверим равенство $$f(-x)=g(x)$$.
$$f(x)=\frac{x^2-3x+8}{x^2+3x+8}, \qquad g(x)=\frac{x^2+3x+8}{x^2-3x+8}$$
$$f(-x)=\frac{x^2+3x+8}{x^2-3x+8}=g(x).$$
Значит, графики симметричны относительно оси $$y$$.
Проверим равенство $$g(x)=-f(-x)$$.
$$f(x)=\frac{x^3-8x+1}{x^3+8x+1}, \qquad g(x)=\frac{1+8x-x^3}{x^3+8x-1}$$
$$f(-x)=\frac{-x^3+8x+1}{-x^3-8x+1}=\frac{x^3-8x-1}{x^3+8x-1},$$
$$-f(-x)=\frac{1+8x-x^3}{x^3+8x-1}=g(x).$$
Следовательно, графики симметричны относительно точки $$O(0;0)$$.
Ответ
а) симметричны относительно оси $$y$$; б) симметричны относительно точки $$O(0;0)$$; в) симметричны относительно оси $$y$$; г) симметричны относительно точки $$O(0;0)$$.
