Упр.1368 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Упростите выражение: $$\frac{\sqrt{a}-2}{a+2\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{a}+2}{a-2a^{1/2}}\cdot\frac{a^{3/2}}{a+4a^0}-\frac{8}{a-4}$$.
2. Докажите тождество: $$\frac{\sin(?+?)}{\cos(2?-?)}\cdot\frac{\cos^2(-?)}{\sin(3?/2-?)}\cdot\frac{\operatorname{ctg}(?+?)}{\operatorname{tg}(3?/2-?)}=\sin(?)$$.

Преобразуем левую часть, используя формулы приведения:

$$\frac{\sin(\pi+a)}{\cos(2\pi-a)}\cdot \frac{\cos^2(-a)}{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}\cdot \frac{\ctg(\pi+a)}{\tg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}$$

Так как

$$\sin(\pi+a)=-\sin a,\quad \cos(2\pi-a)=\cos a,\quad \cos(-a)=\cos a,$$
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\cos a,\quad \ctg(\pi+a)=\ctg a,\quad \tg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=\ctg a,$$
то получаем:

$$\frac{-\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos^2 a}{-\cos a}\cdot \frac{\ctg a}{\ctg a} = \frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = \sin a.$$

Следовательно, тождество верно.

Ответ

$$\sin a$$