Упр.1347 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите наименьший член последовательности: а) $$a_n=2-\frac{4}{n+1}$$; б) $$a_n=n^2+4n+3$$.
2. Является ли периодической функция: а) $$y=1-\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=?+\operatorname{tg}(2x)$$; б) $$y=\operatorname{ctg}(x)+x$$; г) $$y=\operatorname{ctg}(x)+\sin(x)$$?

1. а) $$y=1-\tg x$$

   Функция $$\tg x$$ периодическая с периодом $$\pi$$, значит

   $$y(x+\pi)=1-\tg(x+\pi)=1-\tg x=y(x).$$

   Следовательно, функция периодическая.

2. б) $$y=\ctg x+x$$

   У функции $$\ctg x$$ период $$\pi$$, но слагаемое $$x$$ не является периодическим:

   $$y(x+\pi)=\ctg(x+\pi)+(x+\pi)=\ctg x+x+\pi \ne y(x).$$

   Следовательно, функция не периодическая.

3. в) $$y=\pi+\tg 2x$$

   Так как $$\tg x$$ имеет период $$\pi$$, то для функции $$\tg 2x$$ период равен $$\frac{\pi}{2}$$:

   $$y\!\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\pi+\tg\!\left(2x+\pi\right)=\pi+\tg 2x=y(x).$$

   Следовательно, функция периодическая.

4. г) $$y=\ctg x+\sin x$$

   Функции $$\ctg x$$ и $$\sin x$$ периодические, их общий период равен $$2\pi$$:

   $$y(x+2\pi)=\ctg(x+2\pi)+\sin(x+2\pi)=\ctg x+\sin x=y(x).$$

   Следовательно, функция периодическая.

Ответ

а) да; б) нет; в) да; г) да.