Упр.1321 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задание учебника 2026 года. Выполните действия: а) $$\left(1\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\right):\frac{11}{24}$$; б) $$\left(2\frac{3}{8}+\frac{11}{12}\right):\frac{5}{48}$$.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что функция Дирихле является периодической и что она не имеет наименьшего положительного периода:
$$f(x)= \begin{cases} 1, & \text{если } x\text{ — рациональное число};\\ 0, & \text{если } x\text{ — иррациональное число}. \end{cases}$$
Пусть $$T\in \mathbb{Q},\; T\ne 0.$$ Докажем, что для любого $$x$$ выполняется равенство $$f(x+T)=f(x).$$
1) Если $$x\in \mathbb{Q},$$ то сумма рациональных чисел $$x+T$$ тоже рациональна. Значит,
$$f(x+T)=1=f(x).$$
2) Если $$x\notin \mathbb{Q},$$ а $$T\in \mathbb{Q},$$ то число $$x+T$$ не может быть рациональным, иначе разность $$x=(x+T)-T$$ была бы рациональной. Следовательно, $$x+T\notin \mathbb{Q},$$ и потому
$$f(x+T)=0=f(x).$$
Итак, для любого рационального $$T\ne 0$$ имеем $$f(x+T)=f(x)$$ при всех $$x$$, значит, функция Дирихле периодическая.
Теперь покажем, что наименьшего положительного периода у неё нет. Действительно, любое рациональное число $$T\ne 0$$ является периодом функции. Но среди рациональных чисел нет наименьшего положительного: если $$T>0$$ — период, то и $$\frac{T}{2}$$ тоже положительный период, причём
$$0<\frac{T}{2}<T.$$
Следовательно, у функции Дирихле нет наименьшего положительного периода.
Ответ
Функция Дирихле периодическая; любой рациональный $$T\ne 0$$ является её периодом. Наименьшего положительного периода не существует.
