Упр.12 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задайте формулой $$y=f(g(x))$$ и $$y=g(f(x))$$, если:
а) $$f(x)=x^2-2x-3$$, $$g(x)=|x-1|$$;
в) $$f(x)=2x^3+2$$, $$g(x)=\sqrt{x}+2|x|$$;
б) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$g(x)=\operatorname{sgn}x+2x$$;
г) $$f(x)=x^2+2x$$, $$g(x)=|2x+1|$$. - Изобразите схематически график функции, укажите область определения и область значений функции и выясните, является ли функция возрастающей или убывающей:
а) $$y=\sqrt{x-4}+2$$;
б) $$y=\sqrt{x+3}-1$$.
Рассмотрим графики функций вида $$y=\sqrt{x-a}+b.$$ Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вправо на $$a$$ и вверх на $$b$$.
$$y=\sqrt{x-4}+2$$
Для существования корня нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$x-4\ge 0,$$
откуда
$$x\ge 4.$$
Значит, область определения:
$$D(y)=[4;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x-4}\ge 0,$$ то
$$y=\sqrt{x-4}+2\ge 2.$$
Следовательно, область значений:
$$E(y)=[2;+\infty).$$
Функция возрастает на всей области определения.
$$y=\sqrt{x+3}-1$$
Для существования корня нужно:
$$x+3\ge 0,$$
откуда
$$x\ge -3.$$
Значит, область определения:
$$D(y)=[-3;+\infty).$$
Так как $$\sqrt{x+3}\ge 0,$$ то
$$y=\sqrt{x+3}-1\ge -1.$$
Следовательно, область значений:
$$E(y)=[-1;+\infty).$$
Функция возрастает на всей области определения.
Ответ
а) $$D(y)=[4;+\infty),\ E(y)=[2;+\infty)$$; функция возрастающая.
б) $$D(y)=[-3;+\infty),\ E(y)=[-1;+\infty)$$; функция возрастающая.
