Упр.1295 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Найдите значение $$\cos(4?),$$ если $$\sin(?)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}.$$
Найдите значение выражения:
а) $$2\tg(30^\circ)\ctg(30^\circ)\cos(30^\circ)\sin(30^\circ)+\sqrt{3}\tg(60^\circ);$$
б) $$\frac{\cos(?/6)\sin(?/6)}{\sin(?/3)+\cos(?/3)}-\frac{\tg(?/3)\ctg(?/6)}{\cos(?/3)-\sin(?/3)}.$$

Подробный ответ

а) Используем значения тригонометрических функций:

$$\tg 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}, \quad \ctg 30^\circ=\sqrt{3}, \quad \cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ=\frac{1}{2}, \quad \tg 60^\circ=\sqrt{3}.$$

$$2\tg 30^\circ \ctg 30^\circ \cos 30^\circ \sin 30^\circ+\sqrt{3}\tg 60^\circ$$
$$=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$$
$$=\frac{3\sqrt{3}}{6}+3=\frac{\sqrt{3}}{2}+3.$$

б) Подставим значения:

$$\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2},$$
$$\tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, \quad \ctg \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}.$$

$$\frac{\cos \frac{\pi}{6}\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3}} -\frac{\tg \frac{\pi}{3}\ctg \frac{\pi}{6}}{\cos \frac{\pi}{3}-\sin \frac{\pi}{3}}$$
$$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}} -\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
$$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}-\frac{3}{\frac{1-\sqrt{3}}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}+1}-3\cdot \frac{2}{1-\sqrt{3}}.$$

После преобразований получаем:
$$\frac{11\sqrt{3}+15}{4}.$$