Упр.11 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Задайте формулой $$y=f(g(x))$$, если:
а) $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$g(x)=x^2-2x$$;
в) $$f(x)=[x]$$, $$g(x)=x^3-1$$;
б) $$f(x)=|x|$$, $$g(x)=x^2-2$$;
г) $$f(x)=\{x\}$$, $$g(x)=x^3+1$$. - Целой частью числа $$x$$ называется наибольшее целое число, не превосходящее $$x$$ (обозначается $$[x]$$), а дробной частью числа $$x$$ называется разность между числом $$x$$ и его целой частью (обозначается $$\{x\}$$). На рисунке 6 построены графики функций $$y=[x]$$ и $$y=\{x\}$$. Каковы области определения каждой из функций? Найдите для каждой из них: нули функций; промежутки, в которых $$y<0$$, $$y>0$$; промежутки возрастания и убывания; промежутки, на которых функция сохраняет постоянное значение.
а) Для функции $$y=[x]$$
Целая часть числа определена при любом действительном $$x$$, значит
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Нули функции получаются, когда $$[x]=0$$, то есть при
$$x\in[0;1).$$
Знак функции:
$$y<0 \text{ при } x\in(-\infty;0),$$
$$y>0 \text{ при } x\in[1;+\infty).$$
Функция не возрастает и не убывает на всей области определения, а является постоянной на каждом промежутке вида
$$[n;n+1), \quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) Для функции $$y=\{x\}$$
Дробная часть числа также определена при любом действительном $$x$$, поэтому
$$D(x)=(-\infty;+\infty).$$
Так как $$\{x\}=0$$ тогда и только тогда, когда $$x$$ — целое число, то нули функции:
$$x\in\mathbb{Z}.$$
Значения дробной части всегда удовлетворяют неравенству $$0\le \{x\}<1$$, значит
$$y<0$$ — нет;
$$y>0 \text{ при } x\in(n;n+1), \quad n\in\mathbb{Z}.$$
На каждом промежутке $$[n;n+1)$$ функция возрастает, а в точках целых чисел происходит скачок вниз, поэтому на всей числовой прямой она не является ни возрастающей, ни убывающей.
Постоянных промежутков нет.
Ответ
а) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$; нули: $$x\in[0;1)$$; $$y<0$$ при $$x\in(-\infty;0)$$; $$y>0$$ при $$x\in[1;+\infty)$$; постоянна на $$[n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
б) $$D(x)=(-\infty;+\infty)$$; нули: $$x\in\mathbb{Z}$$; $$y>0$$ при $$x\in(n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$; возрастает на $$[n;n+1)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$; постоянных промежутков нет.
