Упр.117 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Постройте графики функций:
   а) $$y=\sqrt{x^2+2x+1}-\sqrt{x^2-6x+9}$$;
   б) $$y=\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+4x+4}$$.
2. Упростите $$\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+\frac{1}{(x-3)(x-4)}+\frac{1}{(x-4)(x-5)}$$.

Преобразуем каждую пару дробей, приводя к общему знаменателю:

$$\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-3+x-1}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{2}{(x-1)(x-3)}$$

$$\frac{1}{(x-3)(x-4)}+\frac{1}{(x-4)(x-5)} = \frac{x-5+x-3}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{2(x-4)}{(x-3)(x-4)(x-5)} = \frac{2}{(x-3)(x-5)}$$

Теперь складываем полученные дроби:

$$\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{2}{(x-3)(x-5)} = \frac{2(x-5)+2(x-1)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)(x-5)} = \frac{4}{(x-1)(x-5)}$$

Так как $$(x-1)(x-5)=x^2-6x+5$$, получаем:

$$\frac{4}{(x-1)(x-5)}=\frac{4}{x^2-6x+5}$$

Ответ: $$\frac{4}{x^2-6x+5}$$