Упр.1159 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Преобразуйте выражение:
   а) $$\cos^2(?) + \frac{\tg^2(?) — 1}{\tg^2(?) + 1}$$;
   б) $$\frac{\ctg^2(?) — 1}{\ctg^2(?) + 1} — \cos^2(?)$$;
   б) $$\sin^2(?) + \frac{\ctg^2(?) — 1}{\ctg^2(?) + 1}$$;
   г) $$\frac{\tg^2(x) — 1}{\tg^2(x) + 1} — \sin^2(x)$$.
2. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} 3x^2-y^2=7y,\\ 2x^2+3y^2=5xy. \end{cases}$$

Рассмотрим второе уравнение системы:

$$2x^2+3y^2=5xy.$$

Если $$y=0,$$ то из уравнения получаем $$2x^2=0,$$ значит $$x=0.$$ Тогда подходит точка $$$(0;0).$$

Если $$y\neq 0,$$ разделим уравнение на $$y^2$$ и введём обозначение $$t=\dfrac{x}{y}.$$ Тогда

$$2t^2-5t+3=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=25-24=1,$$

$$t_{1,2}=\dfrac{5\pm 1}{4}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=\dfrac{3}{2}.$$

Значит, возможны два случая:

$$x=y \quad \text{или} \quad x=\dfrac{3}{2}y.$$

1) Пусть $$x=y.$$ Подставим в первое уравнение:

$$3x^2-x^2=7x,$$

$$2x^2-7x=0,$$

$$x(2x-7)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\dfrac{7}{2}.$$

Тогда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=\dfrac{7}{2}.$$

Получаем точки $$$(0;0)$$ и $$\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2}\right).$$

2) Пусть $$x=\dfrac{3}{2}y,$$ то есть $$y=\dfrac{2}{3}x.$$ Подставим в первое уравнение:

$$3x^2-\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2=7\cdot \dfrac{2x}{3},$$

$$3x^2-\dfrac{4x^2}{9}=\dfrac{14x}{3},$$

$$27x^2-4x^2=42x,$$

$$23x^2-42x=0,$$

$$x(23x-42)=0.$$

Отсюда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=\dfrac{42}{23}.$$

Тогда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=\dfrac{28}{23}.$$

Получаем точки $$$(0;0)$$ и $$\left(\dfrac{42}{23};\dfrac{28}{23}\right).$$

Итак, все решения системы:

$$$(0;0),\ \left(\dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2}\right),\ \left(\dfrac{42}{23};\dfrac{28}{23}\right).$$

Ответ

$$$(0;0),\ \left(\dfrac{7}{2};\dfrac{7}{2}\right),\ \left(\dfrac{42}{23};\dfrac{28}{23}\right).$$