Упр.1089 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- При каких $$x$$ из промежутка $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ имеет смысл выражение:
а) $$\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}-\sin x}$$;
б) $$\sqrt{\frac{1}{2}-\cos x}$$;
в) $$\sqrt{\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$;
г) $$\sqrt{\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$? - Изобразите в координатной плоскости множество точек, при подстановке соответствующих координат которых данный предикат обращается в истинное высказывание:
а) $$\left(x-3\geqslant0\right)\land\neg(x
Рассмотрим каждое высказывание и запишем соответствующее ему множество точек.
а) $$\left(x-3\ge 0\right)\land \overline{(x<y)}$$
Так как $$\overline{(x<y)}$$ означает $$x\ge y,$$ получаем систему:
$$x-3\ge 0, \quad x\ge y.$$
То есть
$$x\ge 3, \quad y\le x.$$
Это полуплоскость, лежащая справа от прямой $$x=3$$ и не выше прямой $$y=x$$, включая обе границы.
б) $$\left(x-3\ge 0\right)\lor (x+2<y)$$
Получаем объединение двух множеств:
$$x\ge 3 \quad \text{или} \quad y>x+2.$$
Значит, нужно заштриховать всю полуплоскость $$x\ge 3$$ и всю область выше прямой $$y=x+2$$. Граница $$x=3$$ входит, а прямая $$y=x+2$$ не входит.
в) $$\left(x-3\ge 0\right)\to (x<y)$$
Импликация ложна только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому:
$$\left(x-3\ge 0\right)\to (x<y)\equiv \left(x-3<0\right)\lor (x<y).$$
То есть
$$x<3 \quad \text{или} \quad y>x.$$
Это объединение полуплоскости слева от прямой $$x=3$$ и области выше прямой $$y=x$$. Обе границы не входят.
Ответ
а) $$x\ge 3,\ y\le x$$;
б) $$x\ge 3 \ \text{или}\ y>x+2$$;
в) $$x<3 \ \text{или}\ y>x$$.
