Упр.1070 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Задача

Сравните с нулём число: а) $$\operatorname{tg}(175^\circ)$$; г) $$\operatorname{ctg}(208^\circ)$$; ж) $$\operatorname{tg}(0{,}9\pi)$$; к) $$\sin(-1{,}5\pi)$$; б) $$\sin(101^\circ)$$; д) $$\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)$$; з) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{2\pi}{3}\right)$$; л) $$\operatorname{tg}(-300^\circ)$$; в) $$\cos(355^\circ)$$; е) $$\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right)$$; и) $$\cos(-100^\circ)$$; м) $$\operatorname{ctg}(-1{,}9\pi)$$.
При каких значениях параметра $$a$$ предикат $$\neg A(x)$$ будет тождеством, если: а) $$A(x): x?ax+4$$; б) $$A(x): a^2+x^2<2x$$?

Подробный ответ

а) Предикат $$\neg A(x)$$ должен быть тождественно истинным, если

$$A(x):\ x \ge ax+4.$$

Тогда

$$\neg A(x):\ x < ax+4.$$

Чтобы это неравенство было верным при любом $$x$$, преобразуем его:

$$x-ax<4$$

$$x(1-a)<4.$$

Это возможно для всех $$x$$ только при

$$1-a=0,$$

то есть

$$a=1.$$

б) Пусть

$$A(x):\ a^2+x^2<2x.$$

Тогда

$$\neg A(x):\ a^2+x^2\ge 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x^2-2x+a^2\ge 0.$$

Чтобы это неравенство было тождеством, квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Для этого его дискриминант не должен быть положительным:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot a^2=4-4a^2\le 0.$$

Отсюда

$$1-a^2\le 0,$$

$$a^2\ge 1,$$

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 1.$$