Упр.1067 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите нули тригонометрических функций в промежутке: а) $$(2{,}8?; 4{,}1?)$$; б) $$(-3{,}5?; -0{,}7?)$$; в) $$(-1{,}2?; 2{,}6?)$$; г) $$(35^\circ; 280^\circ)$$; д) $$(-390^\circ; -25^\circ)$$; е) $$(-206^\circ; 95^\circ)$$.
2. Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной $$x$$, для которых предикат $$!(A(x))$$ принимает значение «истина», если: а) $$A(x): 3x^2-|x|-4?0$$; б) $$A(x): \frac{3x^2-|x|-4}{4x^2-|x|-3}?0$$.

Предикат $$\neg A(x)$$ истинный тогда и только тогда, когда само высказывание $$A(x)$$ ложно.

1. а) $$A(x): 3x^2-|x|-4\le 0.$$

   Тогда $$\neg A(x): 3x^2-|x|-4>0.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем

   $$3x^2-x-4>0.$$

   Найдём корни уравнения $$3x^2-x-4=0$$:

   $$D=1+48=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{6},$$

   откуда $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

   При $$x\ge 0$$ имеем $$3x^2-x-4>0$$ при $$x>\frac{4}{3}.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

   $$3x^2+x-4>0.$$

   Корни уравнения $$3x^2+x-4=0$$:

   $$D=1+48=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{-1\pm 7}{6},$$

   откуда $$x_1=-\frac{4}{3},\quad x_2=1.$$

   При $$x<0$$ получаем $$x<-\frac{4}{3}.$$

   Итак,

   $$x<-\frac{4}{3}\ \text{или}\ x>\frac{4}{3}.$$

2. б) $$A(x): \frac{3x^2-|x|-4}{4x^2-|x|-3}\ge 0.$$

   Тогда $$\neg A(x): \frac{3x^2-|x|-4}{4x^2-|x|-3}<0.$$

   Рассмотрим случаи.

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и

   $$\frac{3x^2-x-4}{4x^2-x-3}<0.$$

   Разложим на множители:

   $$3x^2-x-4=(3x-4)(x+1),$$

   $$4x^2-x-3=(4x-3)(x+1).$$

   Тогда при $$x\ge 0$$ и $$x\ne -1$$ имеем

   $$\frac{(3x-4)(x+1)}{(4x-3)(x+1)}=\frac{3x-4}{4x-3}<0.$$

   Знаки меняются в точках $$x=\frac{3}{4}$$ и $$x=\frac{4}{3},$$ поэтому

   $$\frac{3}{4}<x<\frac{4}{3}.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

   $$\frac{3x^2+x-4}{4x^2+x-3}<0.$$

   Разложим:

   $$3x^2+x-4=(3x+4)(x-1),$$

   $$4x^2+x-3=(4x+3)(x-1).$$

   Тогда

   $$\frac{3x+4}{4x+3}<0.$$

   Знаки меняются в точках $$x=-\frac{4}{3}$$ и $$x=-\frac{3}{4},$$ значит

   $$-\frac{4}{3}<x<-\frac{3}{4}.$$

   С учётом условия $$x<0$$ получаем тот же промежуток.

   Итак,

   $$-\frac{4}{3}<x<-\frac{3}{4}\ \text{или}\ \frac{3}{4}<x<\frac{4}{3}.$$

Ответ

а) $$x<-\frac{4}{3},\ x>\frac{4}{3}.$$

б) $$-\frac{4}{3}<x<-\frac{3}{4},\ \frac{3}{4}<x<\frac{4}{3}.$$