Упр.1065 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. В двух арифметических прогрессиях $$\left(a_n\right)$$ и $$\left(b_n\right)$$ первые члены равны $$a$$. Разность одной равна $$-d$$, а другой — $$d$$. Суммы $$n$$ первых членов этих прогрессий — $$S_n$$ и $$S’_n$$. Докажите, что $$\frac{S’_n-S_n}{S’_n+S_n}=\frac{2a}{d(n-1)}$$.
2. Вычислите значение выражения $$\operatorname{sgn}\left(4-\sqrt{23}\right)+\left[4-\sqrt{23}\right]-\left\{\frac{2}{3}-\left(-1\right)^{\frac{1}{3}}\right\}$$.

Вычислим по частям:

$$\operatorname{sgn}(4-\sqrt{23})$$
так как $$16<23,$$ то $$4<\sqrt{23},$$ значит
$$4-\sqrt{23}<0,$$
следовательно,
$$\operatorname{sgn}(4-\sqrt{23})=-1.$$

Далее,
$$[4-\sqrt{23}]=-1,$$
поскольку $$-1<4-\sqrt{23}<0.$$

И ещё:
$$\left\{\frac{2}{3}-(-1)^{1/3}\right\}=\frac{2}{3}-(-1)=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}.$$

Тогда

$$\operatorname{sgn}(4-\sqrt{23})+[4-\sqrt{23}]-\left\{\frac{2}{3}-(-1)^{1/3}\right\}$$
$$=-1-1-\frac{5}{3}=-2-\frac{5}{3}=-\frac{11}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{11}{3}$$