Упр.1022 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Запишите с помощью $$\pi$$ в радианах углы: а) $$120^\circ$$; б) $$150^\circ$$; в) $$-210^\circ$$; г) $$240^\circ$$; д) $$-300^\circ$$; е) $$330^\circ$$; ж) $$540^\circ$$; з) $$-720^\circ$$.
2. Докажите, что $$\sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt{2}}= \begin{cases} a-b\sqrt{2}, & \text{если } a\geq b\sqrt{2},\\ b\sqrt{2}-a, & \text{если } a

Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:

$$a^2+2b^2-2ab\sqrt2=a^2-2ab\sqrt2+(b\sqrt2)^2=(a-b\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}=\sqrt{(a-b\sqrt2)^2}=|a-b\sqrt2|.$$

По определению модуля:

$$|a-b\sqrt2|= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases}$$

Следовательно,

$$\sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases}$$

Ответ

$$\sqrt{a^2+2b^2-2ab\sqrt2}= \begin{cases} a-b\sqrt2, & \text{если } a\ge b\sqrt2,\\ b\sqrt2-a, & \text{если } a<b\sqrt2. \end{cases}$$