Упр.1598 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\left(9+x^{1/2}\right)^{1/3}+\left(9-x^{1/2}\right)^{1/3}=3\cdot2^{1/3}$$;
   б) $$\left(x^{1/2}+1\right)^{1/3}-\left(x^{1/2}-1\right)^{1/3}=1$$.

а) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{9+\sqrt{x}}, \quad b=\sqrt[3]{9-\sqrt{x}}.$$

Тогда

$$a+b=3\sqrt[3]{2}.$$

Возведём это равенство в куб:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$$

Так как

$$a^3+b^3=(9+\sqrt{x})+(9-\sqrt{x})=18,$$

то

$$54=18+3ab(a+b).$$

Подставим $$a+b=3\sqrt[3]{2}$$:

$$54=18+9\sqrt[3]{2}\,ab,$$

$$9\sqrt[3]{2}\,ab=36,$$

$$ab=\frac{4}{\sqrt[3]{2}}=2\sqrt[3]{4}.$$

Но

$$ab=\sqrt[3]{(9+\sqrt{x})(9-\sqrt{x})}=\sqrt[3]{81-x}.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{81-x}=2\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{32},$$

$$81-x=32,$$

$$x=49.$$

Проверка: $$\sqrt{49}=7$$, тогда

$$\sqrt[3]{9+7}+\sqrt[3]{9-7}=\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{2}=2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{2}=3\sqrt[3]{2}.$$

б) Обозначим

$$a=\sqrt[3]{\sqrt{x}+1}, \quad b=\sqrt[3]{\sqrt{x}-1}.$$

Тогда

$$a-b=1.$$

Возведём в куб:

$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3.$$

Так как

$$a^3-b^3=(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)=2,$$

то

$$1=2-3ab(a-b).$$

С учётом $$a-b=1$$ получаем

$$3ab=1.$$

Но

$$ab=\sqrt[3]{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\sqrt[3]{x-1}.$$

Следовательно,

$$3\sqrt[3]{x-1}=1.$$

Возведём в куб:

$$27(x-1)=1,$$

$$x-1=\frac{1}{27},$$

$$x=\frac{28}{27}.$$

Проверка области определения: $$x\ge 1$$, значит найденное значение подходит.

Ответ

а) $$49$$; б) $$\frac{28}{27}$$.