Упр.1594 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что если $$n\in\mathbb{N}$$ и $$n>2$$, то верно неравенство $$2^{\frac{n(n-1)}{2}}>n!$$.

Докажем неравенство методом математической индукции.

1. База индукции. При $$n=3$$ имеем:

$$2^{\frac{n(n-1)}{2}}=2^{\frac{3\cdot 2}{2}}=2^3=8,$$

$$3!=3\cdot 2=6.$$

Следовательно, $$2^{\frac{n(n-1)}{2}}>n!.$$

2. Индукционный переход. Пусть для некоторого $$n=k$$, $$k>2,$$ верно:

$$2^{\frac{k(k-1)}{2}}>k!.$$

Докажем, что тогда верно и для $$n=k+1$$:

$$2^{\frac{(k+1)k}{2}}>(k+1)!.$$

Действительно,

$$2^{\frac{(k+1)k}{2}}=2^{\frac{k(k-1)}{2}} \cdot 2^k.$$

По предположению индукции $$2^{\frac{k(k-1)}{2}}>k!,$$ а при $$k>2$$ имеем

$$2^k>k+1.$$

Тогда

$$2^{\frac{(k+1)k}{2}}=2^{\frac{k(k-1)}{2}}\cdot 2^k > k!\,(k+1)=(k+1)!.$$

Значит, если неравенство верно для $$n=k$$, то оно верно и для $$n=k+1$$.

По принципу математической индукции неравенство $$2^{\frac{n(n-1)}{2}}>n!$$ верно для всех $$n\in \mathbb{N},\ n>2.$$

Ответ

$$2^{\frac{n(n-1)}{2}}>n! \quad \text{при всех } n\in \mathbb{N},\ n>2.$$