Упр.1590 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Найдите необходимое и достаточное условие того, что квадраты трёх последовательных членов арифметической прогрессии, первый член которой равен $$a$$ и разность равна $$d$$, являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть три последовательных члена арифметической прогрессии равны

$$a,\ a+d,\ a+2d.$$

Тогда их квадраты:

$$a^2,\ (a+d)^2,\ (a+2d)^2.$$

Чтобы эти числа были тремя последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы квадрат среднего члена был равен произведению крайних:

$$((a+d)^2)^2=a^2(a+2d)^2.$$

Отсюда

$$(a+d)^2=\pm a(a+2d).$$

Рассмотрим оба случая.

1) $$(a+d)^2=a(a+2d).$$

Тогда

$$a^2+2ad+d^2=a^2+2ad,$$

$$d^2=0,$$

$$d=0.$$

2) $$(a+d)^2=-a(a+2d).$$

Тогда

$$a^2+2ad+d^2=-a^2-2ad,$$

$$d^2+4ad+2a^2=0.$$

Решим это уравнение как квадратное относительно $$d$$:

$$D=(4a)^2-4\cdot 2a^2=16a^2-8a^2=8a^2,$$

$$d=\frac{-4a\pm\sqrt{8a^2}}{2}=a(-2\pm\sqrt2).$$

Итак, необходимое и достаточное условие:

$$d=0 \quad \text{или} \quad d=a(-2\pm\sqrt2).$$

Ответ

$$d=0 \text{ или } d=a(-2\pm\sqrt2).$$