Упр.1570 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$ уравнение $$(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0$$ имеет корни.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$$(x-a)(x-b)+(x-a)(x-c)+(x-b)(x-c)=0$$

$$x^2-ax-bx+ab+x^2-ax-cx+ac+x^2-bx-cx+bc=0$$

$$3x^2-2(a+b+c)x+(ab+ac+bc)=0$$

Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Найдём его дискриминант:

$$D=[-2(a+b+c)]^2-4\cdot 3(ab+ac+bc)$$

$$D=4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)$$

$$D=4(a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc)-12ab-12ac-12bc$$

$$D=4(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$$

Представим выражение в скобках в виде суммы квадратов:

$$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac12\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\bigr)$$

Тогда

$$D=2\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\bigr)\ge 0.$$

Следовательно, дискриминант неотрицателен при любых значениях $$a$$, $$b$$ и $$c$$, значит, уравнение всегда имеет корни.

Ответ

Уравнение имеет корни при любых $$a$$, $$b$$ и $$c$$, так как его дискриминант $$D=2\bigl((a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2\bigr)\ge 0$$.