Упр.1557 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что если в треугольнике с углами $$?$$, $$?$$ и $$?$$ угол $$?$$ тупой, то произведение тангенсов $$?$$ и $$?$$ меньше 1.

Пусть углы треугольника равны $$\alpha,\ \beta,\ \gamma,$$ причём $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ а угол $$\gamma$$ тупой. Тогда

$$\gamma>\frac{\pi}{2}, \qquad \alpha<\frac{\pi}{2}, \qquad \beta<\frac{\pi}{2}.$$

Так как $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ то

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}.$$

Докажем, что это произведение меньше 1:

$$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}-1<0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Числитель преобразуем по формуле:

$$\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta=-\cos(\alpha+\beta).$$

Тогда

$$\frac{-\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Но $$\alpha+\beta=\pi-\gamma,$$ значит

$$-\cos(\alpha+\beta)=-\cos(\pi-\gamma)=\cos\gamma.$$

Следовательно,

$$\frac{\cos\gamma}{\cos\alpha\cos\beta}<0.$$

Так как $$\gamma>\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\gamma<0,$$ а поскольку $$\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\beta<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos\alpha>0$$ и $$\cos\beta>0.$$ Значит, дробь отрицательна, то есть

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta<1.$$

Ответ

$$\tan\alpha\cdot\tan\beta<1.$$