Упр.1556 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что если $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)=4\operatorname{tg}\left(\frac{?}{2}\right)$$, то $$\operatorname{tg}\left(\frac{?-a}{2}\right)=\frac{3\sin(?)}{5-3\cos(?)}$$.

Используем формулу для тангенса разности:

$$\tg \frac{\beta-a}{2}=\frac{\tg \frac{\beta}{2}-\tg \frac{a}{2}}{1+\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{a}{2}}.$$

По условию $$\tg \frac{\beta}{2}=4\tg \frac{a}{2}.$$ Подставим это в формулу:

$$\tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{4\tg \frac{a}{2}-\tg \frac{a}{2}}{1+4\tg^2 \frac{a}{2}} =\frac{3\tg \frac{a}{2}}{1+4\tg^2 \frac{a}{2}}.$$

Выразим через синус и косинус:

$$\tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{3\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}}{\cos^2 \frac{a}{2}+4\sin^2 \frac{a}{2}} =\frac{\frac{3}{2}\sin a}{1+3\sin^2 \frac{a}{2}}.$$

Так как $$\sin^2 \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2},$$ то

$$1+3\sin^2 \frac{a}{2} =1+\frac{3(1-\cos a)}{2} =\frac{5-3\cos a}{2}.$$

Тогда

$$\tg \frac{\beta-a}{2} =\frac{\frac{3}{2}\sin a}{\frac{5-3\cos a}{2}} =\frac{3\sin a}{5-3\cos a}.$$

Ответ

$$\tg \frac{\beta-a}{2}=\frac{3\sin a}{5-3\cos a}.$$