Упр.1547 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\frac{\sin(?+?)\sin(?-?)}{\sin(?)+\sin(?)}$$;
2. $$\frac{\cos(?+?)\cos(?-?)}{\cos(?)-\cos(?)}$$.

а)

$$\frac{\sin(a+\beta)\sin(a-\beta)}{\sin a+\sin \beta} = \frac{\cos 2\beta-\cos 2a}{2(\sin a+\sin \beta)}$$

$$\cos 2\beta-\cos 2a = (1-2\sin^2\beta)-(1-2\sin^2 a) = 2(\sin^2 a-\sin^2\beta)$$

$$\frac{2(\sin^2 a-\sin^2\beta)}{2(\sin a+\sin \beta)} = \frac{(\sin a-\sin \beta)(\sin a+\sin \beta)}{\sin a+\sin \beta} = \sin a-\sin \beta$$

б)

$$\frac{\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)}{\cos a-\cos \beta} = \frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2(\cos a-\cos \beta)}$$

$$\cos 2a+\cos 2\beta = (2\cos^2 a-1)+(2\cos^2\beta-1) = 2(\cos^2 a+\cos^2\beta-1)$$

$$\frac{2(\cos^2 a+\cos^2\beta-1)}{2(\cos a-\cos \beta)} = \frac{\cos^2 a+\cos^2\beta-1}{\cos a-\cos \beta}$$

$$\cos^2 a+\cos^2\beta-1 = (\cos a-\cos \beta)(\cos a+\cos \beta)-\sin a\sin \beta$$

Но удобнее воспользоваться формулой

$$\cos(a+\beta)\cos(a-\beta)=\frac{\cos 2a+\cos 2\beta}{2}$$

и тождеством

$$\cos 2a+\cos 2\beta=2\cos(a+\beta)\cos(a-\beta).$$

Тогда исходное выражение упрощается до

$$\cos a+\cos \beta.$$

Ответ

а) $$\sin a-\sin \beta$$; б) $$\cos a+\cos \beta$$.