Упр.1543 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Вычислите $$\sin\frac{\alpha}{2}$$, $$\cos\frac{\alpha}{2}$$ и $$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$$, если $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{4}{3}$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3}{2}\pi$$.
Так как $$\tg \alpha=\frac{4}{3}$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$\alpha$$ лежит в III четверти, значит $$\sin \alpha<0$$ и $$\cos \alpha<0.$$
Найдём $$\cos \alpha$$ по формуле:
$$\cos^2 \alpha=\frac{1}{1+\tg^2 \alpha} =\frac{1}{1+\frac{16}{9}} =\frac{1}{\frac{25}{9}} =\frac{9}{25}.$$
Следовательно,
$$\cos \alpha=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac{3}{5}.$$
Теперь найдём значения половинного угла:
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{\frac{8}{5}}{2}} =\sqrt{\frac{4}{5}} =\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$
Так как $$\frac{\alpha}{2}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right),$$ то $$\cos \frac{\alpha}{2}<0,$$ поэтому
$$\cos \frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}} =-\sqrt{\frac{\frac{2}{5}}{2}} =-\sqrt{\frac{1}{5}} =-\frac{\sqrt{5}}{5}.$$
Тогда
$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{\frac{2\sqrt{5}}{5}}{-\frac{\sqrt{5}}{5}} =-2.$$
Ответ
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5},\quad \cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{5},\quad \tg \frac{\alpha}{2}=-2.$$
