Упр.1538 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Найдите значение $$\cos(4?)$$, если $$\sin(?)=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$$.

Используем формулу двойного угла:

$$\cos 4a=2\cos^2 2a-1=2(1-2\sin^2 a)^2-1.$$

Подставим $$\sin a=\frac{1-\sqrt2}{2}$$:

$$\sin^2 a=\left(\frac{1-\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3-2\sqrt2}{4}.$$

Тогда

$$1-2\sin^2 a=1-2\cdot \frac{3-2\sqrt2}{4}=1-\frac{3-2\sqrt2}{2}=\frac{2\sqrt2-1}{2}.$$

Следовательно,

$$\cos 4a=2\left(\frac{2\sqrt2-1}{2}\right)^2-1=\frac{(2\sqrt2-1)^2}{2}-1.$$

Вычислим:

$$\frac{(2\sqrt2-1)^2}{2}-1=\frac{8-4\sqrt2+1}{2}-1=\frac{9-4\sqrt2}{2}-1=\frac{7-4\sqrt2}{2}.$$

Ответ

$$\frac{7-4\sqrt2}{2}$$