Упр.1534 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите, что $$? — ? = ?/4$$, если $$?$$ и $$?$$ — острые углы и $$\operatorname{tg}(?) = 2\frac{1}{3}$$ и $$\operatorname{tg}(?) = \frac{2}{5}$$.

Используем формулу тангенса разности:

$$\tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}.$$

По условию:

$$0<a<\frac{\pi}{2}, \quad 0<\beta<\frac{\pi}{2}, \quad \tg a=2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}, \quad \tg \beta=\frac{2}{5}.$$

Тогда

$$\tg(a-\beta)=\frac{\frac{7}{3}-\frac{2}{5}}{1+\frac{7}{3}\cdot\frac{2}{5}} =\frac{\frac{35-6}{15}}{1+\frac{14}{15}} =\frac{\frac{29}{15}}{\frac{29}{15}} =1.$$

Так как углы $$a$$ и $$\beta$$ острые, то разность $$a-\beta$$ лежит между $$0$$ и $$\frac{\pi}{2}$$, а значит, если $$\tg(a-\beta)=1$$, то

$$a-\beta=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

$$a-\beta=\frac{\pi}{4}.$$