Упр.1531 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Докажите тождество:
а) $$\frac{\operatorname{tg}(?+?)-\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?+?)}=\operatorname{tg}(?)$$
б) $$\frac{\operatorname{tg}^2(?)-\operatorname{tg}^2(?)}{1-\operatorname{tg}^2(?)\operatorname{tg}^2(?)}=\operatorname{tg}(?+?)\operatorname{tg}(?-?)$$
в) $$\operatorname{tg}(?-?)-\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)=\operatorname{tg}(?-?)\operatorname{tg}(?)\operatorname{tg}(?)$$
г) $$\frac{\operatorname{tg}(?)-\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?-?)}=\frac{\operatorname{tg}(?)+\operatorname{tg}(?)}{\operatorname{tg}(?+?)}=2$$
а) Используем формулу суммы тангенсов:
$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}.$$
Тогда
$$\frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)} = \frac{\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)}.$$
Приведём числитель к общему знаменателю:
$$\frac{\tg a+\tg \beta-(\tg a+\tg \beta)(1-\tg a \tg \beta)}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a \, \tg(a+\beta)} = \frac{(\tg a+\tg \beta)\tg a \tg \beta}{(1-\tg a \tg \beta)\tg a \, \tg(a+\beta)}.$$
Сокращаем:
$$\frac{\tg \beta}{\tg(a+\beta)}\cdot \tg(a+\beta)=\tg \beta.$$
Тождество доказано.
б) Используем формулы:
$$\tg(a+\beta)=\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}, \qquad \tg(a-\beta)=\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}.$$
Тогда
$$\tg(a+\beta)\tg(a-\beta) = \frac{(\tg a+\tg \beta)(\tg a-\tg \beta)}{(1-\tg a \tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)}.$$
Раскроем скобки:
$$\tg(a+\beta)\tg(a-\beta) = \frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a \tg^2 \beta}.$$
Получаем требуемое равенство.
в) Преобразуем левую часть:
$$\tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta = \frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}-\tg a+\tg \beta.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{\tg a-\tg \beta-(\tg a-\tg \beta)(1+\tg a \tg \beta)}{1+\tg a \tg \beta}.$$
Числитель равен
$$-(\tg a-\tg \beta)\tg a \tg \beta.$$
Значит,
$$\tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta = -\tg(a-\beta)\tg a \tg \beta.$$
Так как $$\tg(\beta-a)=-\tg(a-\beta),$$ то
$$\tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta=\tg(\beta-a)\tg a \tg \beta.$$
Тождество доказано.
г) Рассмотрим сумму:
$$\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}.$$
Подставим формулы для тангенсов суммы и разности:
$$\frac{\tg a-\tg \beta}{\frac{\tg a-\tg \beta}{1+\tg a \tg \beta}} + \frac{\tg a+\tg \beta}{\frac{\tg a+\tg \beta}{1-\tg a \tg \beta}}.$$
После сокращения получаем:
$$1+\tg a \tg \beta + 1-\tg a \tg \beta = 2.$$
Следовательно,
$$\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}=2.$$
Тождество доказано.
Ответ
а) $$\frac{\tg(a+\beta)-\tg a-\tg \beta}{\tg a \, \tg(a+\beta)}=\tg \beta$$; б) $$\frac{\tg^2 a-\tg^2 \beta}{1-\tg^2 a \tg^2 \beta}=\tg(a+\beta)\tg(a-\beta)$$; в) $$\tg(a-\beta)-\tg a+\tg \beta=\tg(\beta-a)\tg a \tg \beta$$; г) $$\frac{\tg a-\tg \beta}{\tg(a-\beta)}+\frac{\tg a+\tg \beta}{\tg(a+\beta)}=2$$.
