Упр.1525 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-\alpha\right)=1$$.

Преобразуем второе слагаемое:

$$\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\right).$$

Используем формулу

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-x\right)=-\cos x,$$

тогда

$$\sin^2\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}+a\right)\right)=\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right).$$

Следовательно,

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\cos^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right).$$

По основному тригонометрическому тождеству

$$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$

получаем

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{6}+a\right)+\sin^2\left(\frac{4\pi}{3}-a\right)=1.$$

Ответ

$$1$$