Упр.1489 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите основной период функции: а) $$y=\sin(x)+\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=\cos(x)-\operatorname{ctg}\left(\frac{x}{2}\right)$$; б) $$y=\frac{\cos(x)}{\operatorname{tg}(x)}$$; г) $$y=\sin^2(x)$$.
а) $$y=\sin x+\tg x$$
Функция $$\sin x$$ имеет период $$2\pi$$, а функция $$\tg x$$ — период $$\pi$$. Общий наименьший период суммы равен $$2\pi$$.
Ответ: $$2\pi$$.
б) $$y=\dfrac{\cos x}{\tg x}$$
Функции $$\cos x$$ и $$\tg x$$ имеют периоды соответственно $$2\pi$$ и $$\pi$$. Для дроби общий основной период равен наименьшему общему периоду этих функций, то есть $$2\pi$$.
Ответ: $$2\pi$$.
в) $$y=\cos x-\ctg \dfrac{x}{2}$$
Функция $$\cos x$$ имеет период $$2\pi$$. Для функции $$\ctg \dfrac{x}{2}$$ период равен $$2\pi$$, так как
$$\ctg\left(\dfrac{x+2\pi}{2}\right)=\ctg\left(\dfrac{x}{2}+\pi\right)=\ctg \dfrac{x}{2}.$$
Следовательно, основной период суммы равен $$2\pi$$.
Ответ: $$2\pi$$.
г) $$y=\sin^2 x$$
Используем формулу:
$$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}.$$
Функция $$\cos 2x$$ имеет период $$\pi$$, значит и функция $$\sin^2 x$$ имеет основной период $$\pi$$.
Ответ: $$\pi$$.
