Упр.1467 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Докажите тождество:

а) $$1+\sin(?)=2\cos^2\left(\frac{?}{4}-\frac{?}{2}\right)$$;

б) $$1-\sin(?)=2\sin^2\left(\frac{?}{4}-\frac{?}{2}\right)$$.

Используем формулы приведения и формулы половинного угла:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a,$$
$$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x,$$
$$2\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos x.$$

а)

$$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1+\sin a.$$

Следовательно,

$$1+\sin a=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right).$$

б)

$$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1-\sin a.$$

Следовательно,

$$1-\sin a=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right).$$

Ответ

а) $$1+\sin a=2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right);$$ б) $$1-\sin a=2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right).$$