Упр.1463 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
- Найдите $$\sin\frac{\alpha}{2}$$, $$\cos\frac{\alpha}{2}$$ и $$\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}$$, если $$\cos\alpha=\frac{1}{3}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$.
Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$\cos \alpha=\frac13,$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит, значения синуса и косинуса берём со знаком «плюс».
Используем формулы половинного угла:
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{2}}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}$$
Тогда
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\frac13}{2}} =\sqrt{\frac{\frac23}{2}} =\sqrt{\frac13} =\frac{\sqrt3}{3},$$
$$\cos \frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\frac13}{2}} =\sqrt{\frac{\frac43}{2}} =\sqrt{\frac23} =\frac{\sqrt6}{3}.$$
Найдём тангенс:
$$\tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2}} =\frac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{\sqrt6}{3}} =\frac{\sqrt3}{\sqrt6} =\frac{1}{\sqrt2} =\frac{\sqrt2}{2}.$$
Ответ
$$\sin \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt3}{3}, \qquad \cos \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt6}{3}, \qquad \tg \frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt2}{2}.$$
