Упр.1461 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)

Преобразуйте выражение:

а) $$4\sin^2(1^\circ)\cos^2(1^\circ)-\cos^2(2^\circ)$$;

б) $$16\sin^2(3^\circ)\cos^2(3^\circ)\cos^2(6^\circ)$$;

в) $$\bigl(\sin(10^\circ)+\sin(80^\circ)\bigr)\bigl(\cos(80^\circ)-\cos(10^\circ)\bigr)$$;

г) $$\bigl(\cos(5^\circ)+\cos(95^\circ)\bigr)\bigl(\sin(85^\circ)+\sin(175^\circ)\bigr)$$.

а) Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$4\sin^2 1^\circ \cos^2 1^\circ — \cos^2 2^\circ = \sin^2 2^\circ — \cos^2 2^\circ = -(\cos^2 2^\circ — \sin^2 2^\circ) = -\cos 4^\circ.$$

б) Снова применим формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

$$16\sin^2 3^\circ \cos^2 3^\circ \cos^2 6^\circ = 4\sin^2 6^\circ \cos^2 6^\circ = \sin^2 12^\circ.$$

в) Преобразуем суммы, используя формулы приведения:

$$(\sin 10^\circ+\sin 80^\circ)(\cos 80^\circ-\cos 10^\circ)$$

$$= (\cos 80^\circ+\sin 80^\circ)(\cos 80^\circ-\sin 80^\circ)$$

$$= \cos^2 80^\circ-\sin^2 80^\circ = \cos 160^\circ = -\cos 20^\circ.$$

г) Аналогично:

$$(\cos 5^\circ+\cos 95^\circ)(\sin 85^\circ+\sin 175^\circ)$$

$$= (\cos 5^\circ-\sin 5^\circ)(\cos 5^\circ+\sin 5^\circ)$$

$$= \cos^2 5^\circ-\sin^2 5^\circ = \cos 10^\circ.$$

Ответ

а) $$-\cos 4^\circ$$; б) $$\sin^2 12^\circ$$; в) $$-\cos 20^\circ$$; г) $$\cos 10^\circ$$.