Упр.1435 ГДЗ Макарычев Миндюк 9 класс (Углубленный) (Алгебра)
Выразите через тригонометрические функции угла $$?$$:
- а) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{4}+?\right)$$;
- в) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{3}-?\right)$$;
- д) $$\operatorname{tg}\left(\frac{?}{6}+?\right)$$;
- б) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{4}-?\right)$$;
- г) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{3}+?\right)$$;
- е) $$\operatorname{ctg}\left(\frac{?}{6}+?\right)$$.
Используем формулы сложения и вычитания для тангенса и котангенса:
$$\tg(\alpha \pm \beta)=\frac{\tg \alpha \pm \tg \beta}{1 \mp \tg \alpha \tg \beta}, \qquad \ctg(\alpha \pm \beta)=\frac{\ctg \alpha \ctg \beta \mp 1}{\ctg \beta \pm \ctg \alpha}.$$
Значения тригонометрических функций для специальных углов:
$$\tg \frac{\pi}{4}=1,\qquad \tg \frac{\pi}{3}=\sqrt{3},\qquad \tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
а)
$$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\frac{\tg \frac{\pi}{4}+\tg a}{1-\tg \frac{\pi}{4}\tg a} =\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$
б)
$$\ctg\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\frac{1+\tg \frac{\pi}{4}\tg a}{\tg \frac{\pi}{4}-\tg a} =\frac{1+\tg a}{1-\tg a}.$$
в)
$$\tg\left(\frac{\pi}{3}-a\right)=\frac{\tg \frac{\pi}{3}-\tg a}{1+\tg \frac{\pi}{3}\tg a} =\frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a}.$$
г)
$$\ctg\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=\frac{1-\tg \frac{\pi}{3}\tg a}{\tg \frac{\pi}{3}+\tg a} =\frac{1-\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}+\tg a}.$$
д)
$$\tg\left(\frac{\pi}{6}+a\right)=\frac{\tg \frac{\pi}{6}+\tg a}{1-\tg \frac{\pi}{6}\tg a} =\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+\tg a}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}\tg a} =\frac{1+\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}-\tg a}.$$
е)
$$\ctg\left(\frac{\pi}{6}+a\right)=\frac{1-\tg \frac{\pi}{6}\tg a}{\tg \frac{\pi}{6}+\tg a} =\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}\tg a}{\frac{1}{\sqrt{3}}+\tg a} =\frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a}.$$
Ответ
$$\begin{aligned} &\text{а) } \frac{1+\tg a}{1-\tg a}, \qquad \text{б) } \frac{1+\tg a}{1-\tg a}, \qquad \text{в) } \frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a},\\ &\text{г) } \frac{1-\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}+\tg a}, \qquad \text{д) } \frac{1+\sqrt{3}\tg a}{\sqrt{3}-\tg a}, \qquad \text{е) } \frac{\sqrt{3}-\tg a}{1+\sqrt{3}\tg a}. \end{aligned}$$
