Упр.802 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Вдоль реки расположены пункты $$A$$, $$B$$, $$C$$ ($$B$$ между $$A$$ и $$C$$). Буксир прошёл путь от $$A$$ до $$C$$ за $$4$$ ч. На каждом из участков $$AB$$ и $$BC$$ собственная скорость буксира (скорость относительно воды) была постоянна, причём на участке $$BC$$ в $$1\frac{2}{3}$$ раза больше, чем на участке $$AB$$. Обратный путь от $$C$$ до $$A$$ буксир прошёл также за $$4$$ ч, и на всём пути его собственная скорость была в $$2$$ раза больше, чем при движении из $$A$$ в $$B$$. Если бы на обратном пути собственная скорость буксира была такой же, как и при движении из $$B$$ в $$C$$, то участок от $$C$$ до $$B$$ он прошёл бы за $$3$$ ч. Сколько времени буксир шёл от $$A$$ до $$B$$?
Обозначим через $$x$$ собственную скорость буксира на участке $$AB$$, через $$v$$ — скорость течения реки, через $$S_1=AB$$ и $$S_2=BC$$.
Тогда по условию составим систему:
$$\begin{cases} \dfrac{S_1}{x+v}+\dfrac{S_2}{\frac{5}{3}x+v}=4,\\[6pt] \dfrac{S_1+S_2}{2x-v}=4,\\[6pt] \dfrac{S_2}{\frac{5}{3}x-v}=3. \end{cases}$$
Введём новые переменные:
$$y_1=\dfrac{v}{S_1},\quad z_1=\dfrac{x}{S_1},\quad y_2=\dfrac{v}{S_2},\quad z_2=\dfrac{x}{S_2}.$$
Тогда система примет вид:
$$\begin{cases} \dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{y_2+\frac{5}{3}z_2}=4,\\[6pt] \dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{1}{2z_2-y_2}=4,\\[6pt] \dfrac{1}{\frac{5}{3}z_2-y_2}=3. \end{cases}$$
Из третьего уравнения:
$$3\left(\dfrac{5}{3}z_2-y_2\right)=1,$$
$$5z_2-3y_2=1,$$
$$z_2=\dfrac{1+3y_2}{5}.$$
Так как $$\dfrac{y_1}{z_1}=\dfrac{y_2}{z_2}$$, то
$$\dfrac{y_1}{z_1}=\dfrac{5y_2}{1+3y_2}.$$
Из первого уравнения системы получаем:
$$\dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{y_2+\frac{5}{3}\cdot \dfrac{1+3y_2}{5}}=4,$$
$$\dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{1}{\dfrac{1+6y_2}{3}}=4,$$
$$\dfrac{1}{y_1+z_1}+\dfrac{3}{1+6y_2}=4,$$
$$\dfrac{1}{y_1+z_1}=\dfrac{24y_2+1}{6y_2+1},$$
$$y_1+z_1=\dfrac{6y_2+1}{24y_2+1}.$$
Из второго уравнения системы:
$$\dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{1}{2\cdot \dfrac{1+3y_2}{5}-y_2}=4,$$
$$\dfrac{1}{2z_1-y_1}+\dfrac{5}{2+y_2}=4,$$
$$\dfrac{1}{2z_1-y_1}=\dfrac{8+4y_2-5}{2+y_2},$$
$$2z_1-y_1=\dfrac{2+y_2}{3+4y_2}.$$
Разделим второе полученное равенство на первое:
$$\dfrac{2z_1-y_1}{y_1+z_1}=\dfrac{\frac{2+y_2}{3+4y_2}}{\frac{6y_2+1}{24y_2+1}}.$$
После преобразований получаем:
$$84y_2^2+5y_2-1=0.$$
Решим квадратное уравнение:
$$D=5^2+4\cdot 84=361,$$
$$y_2=\dfrac{-5\pm 19}{168}.$$
Подходит только положительный корень:
$$y_2=\dfrac{14}{168}=\dfrac{1}{12}.$$
Тогда время прохождения участка $$AB$$:
$$t=\dfrac{1}{y_1+z_1}=\dfrac{24y_2+1}{6y_2+1} =\dfrac{24\cdot \frac{1}{12}+1}{6\cdot \frac{1}{12}+1} =\dfrac{2+1}{\frac{1}{2}+1}=2.$$
Ответ
$$2$$ часа.
