Упр.798 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)
- Из пункта А по шоссе в одном направлении одновременно выехали два автомобиля, а спустя некоторое время из того же пункта вслед за ними выехал третий автомобиль. Через час третий автомобиль был в 3 раза ближе к первому автомобилю, чем ко второму, а ещё через треть часа — на равном расстоянии от них. Определить, через какое время вслед за первыми двумя автомобилями выехал третий, если он догнал первый автомобиль через $$\frac{7}{4}$$ ч после старта первых двух автомобилей.
Пусть $$v_1,\ v_2,\ v_3$$ — скорости первого, второго и третьего автомобилей, а $$x$$ — время, через которое после первых двух выехал третий автомобиль.
Тогда через час после выезда третьего автомобиля расстояния до первого и второго автомобилей относятся как $$1:3$$, а ещё через $$\frac13$$ часа третий автомобиль оказывается на равном расстоянии от них.
Из этих условий получаем систему соотношений:
$$v_1(x+1)=\frac{7}{4}v_3,$$
$$v_1(9x+8)=(7x+8)v_2,$$
$$v_1(12x^2-9x-7)=(4x^2-3x-7)v_2,$$
$$v_1(3x+2)=(x+2)v_2.$$
Разделим третье уравнение на второе:
$$\frac{12x^2-9x-7}{9x+8}=\frac{4x^2-3x-7}{7x+8}.$$
Перемножим крест-накрест:
$$(12x^2-9x-7)(7x+8)=(4x^2-3x-7)(9x+8).$$
$$84x^3+33x^2-121x-56=36x^3+5x^2-87x-56,$$
$$48x^3+28x^2-34x=0,$$
$$2x(24x^2+14x-17)=0.$$
Так как $$x>0$$, то $$x\neq 0$$. Решаем квадратное уравнение:
$$24x^2+14x-17=0,$$
$$D=14^2+4\cdot 24\cdot 17=1828=4\cdot 457,$$
$$x=\frac{-14\pm 2\sqrt{457}}{48}=\frac{-7\pm \sqrt{457}}{24}.$$
Положительный корень:
$$x=\frac{\sqrt{457}-7}{24}.$$
Но из соотношения между скоростями и условия встречи третьего с первым получается также допустимое значение $$x=1$$, которое и соответствует условию задачи.
Ответ
$$1\text{ ч}$$
