Упр.776 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Пусть числа $$a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$$ являются последовательными членами арифметической прогрессии, $$S_n$$ — сумма $$n$$ первых членов этой прогрессии. Доказать, что:

1. если $$S_m=S_n$$, то $$S_{m+n}=0$$;
2. $$S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n$$;
3. если $$\frac{S_m}{S_n}$$, то $$\frac{a_m}{a_n}=\frac{2m-1}{2n-1}$$;
4. $$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n)$$.

1. Для арифметической прогрессии

   $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   Если $$S_m=S_n,$$ то

   $$\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$

   Умножим на $$2$$ и преобразуем:

   $$2a_1m+d(m^2-m)=2a_1n+d(n^2-n),$$
   $$2a_1(m-n)+d(m^2-m-n^2+n)=0,$$
   $$(m-n)\bigl(2a_1+d(m+n-1)\bigr)=0.$$

   Так как $$m\ne n,$$ получаем

   $$2a_1+d(m+n-1)=0.$$

   Тогда

   $$S_{m+n}=\frac{2a_1+d(m+n-1)}{2}\cdot (m+n)=0.$$

2. Пусть

   $$S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n.$$

   Тогда

   $$S_{n+3}-S_n=3(S_{n+2}-S_{n+1}).$$

   Но

   $$S_{n+3}-S_n=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3},$$
   $$S_{n+2}-S_{n+1}=a_{n+2}.$$

   Следовательно,

   $$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=3a_{n+2}.$$

   Так как в арифметической прогрессии $$a_{n+1}+a_{n+3}=2a_{n+2},$$ то

   $$a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=a_{n+2}+2a_{n+2}=3a_{n+2}.$$

   Равенство верно.

3. Если

   $$\frac{S_m}{S_n}=\frac{m^2}{n^2},$$

   то

   $$\frac{\frac{2a_1+d(m-1)}{2}\cdot m}{\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n}=\frac{m^2}{n^2}.$$

   После сокращения получаем

   $$\frac{2a_1+d(m-1)}{2a_1+d(n-1)}=\frac{m}{n}.$$

   Перемножим крест-накрест:

   $$n\bigl(2a_1+d(m-1)\bigr)=m\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

   $$2a_1(n-m)+d(nm-n-mn+m)=0,$$
   $$(n-m)(2a_1-d)=0.$$

   Если $$m=n,$$ то равенство очевидно. Если же $$m\ne n,$$ то

   $$2a_1=d.$$

   Тогда

   $$\frac{a_m}{a_n}=\frac{a_1+d(m-1)}{a_1+d(n-1)} =\frac{a_1+2a_1(m-1)}{a_1+2a_1(n-1)} =\frac{2m-1}{2n-1}.$$

4. Докажем, что

   $$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n).$$

   Запишем суммы через первый член и разность прогрессии:

   $$S_{3n}=\frac{3}{2}\bigl(2a_1+d(3n-1)\bigr),$$
   $$S_{2n}=\frac{2n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr),$$
   $$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

   Тогда

   $$3(S_{2n}-S_n) =3\left(\frac{2n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)\bigr)-\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)\right).$$

   Упростим:

   $$3(S_{2n}-S_n) =\frac{3n}{2}\bigl(2a_1+d(2n-1)-2a_1-d(n-1)\bigr) =\frac{3n}{2}\bigl(dn\bigr).$$

   С другой стороны,

   $$S_{3n}=\frac{3n}{2}\bigl(2a_1+d(3n-1)\bigr).$$

   Следовательно,

   $$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n).$$

Ответ

1) $$S_{m+n}=0$$; 2) равенство верно; 3) $$\frac{a_m}{a_n}=\frac{2m-1}{2n-1}$$; 4) $$S_{3n}=3(S_{2n}-S_n).$$