Упр.759 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что для любых чисел $$a$$, $$b$$, $$c$$ справедливо неравенство:
   
   1) $$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14\geq 0$$;
   
   2) $$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)$$;
   
   3) $$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2\geq ab+bc+ca$$.

1. Преобразуем левую часть:
   $$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14=(a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2.$$

   Так как квадрат любого числа неотрицателен, то
   $$(a-1)^2+(b+2)^2+(c-3)^2 \ge 0.$$
   Следовательно,
   $$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14 \ge 0.$$

2. Раскроем скобки:
   $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$$
   Тогда неравенство
   $$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$$
   равносильно
   $$a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \ge 0.$$

   Умножим на $$2$$:
   $$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \ge 0.$$
   Это можно записать так:
   $$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0.$$

   Значит,
   $$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca).$$

3. Раскроем скобки:
   $$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2$$
   $$= (a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc)$$
   $$\quad +(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc)$$
   $$\quad +(a^2+b^2+c^2-2ab+2ac-2bc).$$

   Получаем:
   $$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2=3(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca).$$

   Тогда
   $$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2-(ab+bc+ca)$$
   $$=3(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)$$
   $$=3(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca).$$

   А выражение
   $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$$
   неотрицательно, так как
   $$2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0.$$
   Значит,
   $$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2 \ge ab+bc+ca.$$

Ответ

Все три неравенства верны:
$$a^2+b^2+c^2-2a+4b-6c+14 \ge 0,$$
$$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca),$$
$$(a+b-c)^2+(b+c-a)^2+(a+c-b)^2 \ge ab+bc+ca.$$