Упр.753 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при которых квадратичная функция $$y=x^2+ax+a^2+6a$$ принимает отрицательные значения при всех $$x$$, таких, что $$1

Рассмотрим функцию $$y=x^2+ax+a^2+6a.$$

Так как требуется, чтобы она принимала отрицательные значения при всех $$x$$, таких что $$1<x<2$$, достаточно, чтобы на концах этого промежутка значения были не положительными:

$$\begin{cases} 1^2+a\cdot 1+a^2+6a\le 0,\\ 2^2+2a+a^2+6a\le 0. \end{cases}$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} a^2+7a+1\le 0,\\ a^2+8a+4\le 0. \end{cases}$$

Решим каждое неравенство.

$$a^2+7a+1\le 0$$

$$D=7^2-4\cdot 1\cdot 1=49-4=45,$$

$$a_{1,2}=\frac{-7\pm\sqrt{45}}{2}=\frac{-7\pm 3\sqrt5}{2}.$$

Тогда

$$\frac{-7-3\sqrt5}{2}\le a\le \frac{-7+3\sqrt5}{2}.$$

Теперь решим второе неравенство:

$$a^2+8a+4\le 0$$

$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 4=64-16=48,$$

$$a_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{48}}{2}=\frac{-8\pm 4\sqrt3}{2}=-4\pm 2\sqrt3.$$

Следовательно,

$$-4-2\sqrt3\le a\le -4+2\sqrt3.$$

Ищем пересечение полученных промежутков:

$$a\in \left[\frac{-7-3\sqrt5}{2};\,-4+2\sqrt3\right].$$

Ответ

$$a\in \left[\frac{-7-3\sqrt5}{2};\,-4+2\sqrt3\right].$$