Упр.735 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

1. Доказать, что ни при каком натуральном числе $$n$$ сумма $$n^3+6n^2+15n+15$$ не делится на $$n+2$$.

Представим многочлен в виде суммы, содержащей множитель $$n+2$$:

$$n^3+6n^2+15n+15 = n^3+2n^2+4n^2+8n+7n+14+1$$

Сгруппируем слагаемые:

$$n^3+6n^2+15n+15 = n^2(n+2)+4n(n+2)+7(n+2)+1$$

Тогда

$$n^3+6n^2+15n+15=(n^2+4n+7)(n+2)+1$$

При делении на $$n+2$$ остаток равен $$1$$, а значит, он не равен нулю. Следовательно, данная сумма не делится на $$n+2$$ ни при каком натуральном $$n$$.

Ответ

Не делится на $$n+2$$ ни при каком натуральном $$n$$.