Упр.733 ГДЗ Колягин Ткачёва 9 класс (Алгебра)

Доказать, что дробь $$\frac{(n+1)^4+n^4-1}{2}$$, где $$n$$ — натуральное число, можно представить в виде произведения двух натуральных чисел, разность которых равна двум.

Преобразуем данную дробь:

$$\frac{(n+1)^4+n^4-1}{2} = \frac{(n^2+2n+1)^2+n^4-1}{2}$$

$$= \frac{n^4+4n^3+6n^2+4n+1+n^4-1}{2} = \frac{2n^4+4n^3+6n^2+4n}{2}$$

$$= n^4+2n^3+3n^2+2n$$

$$= n^3(n+1)+n^2(n+1)+2n(n+1)$$

$$= (n+1)(n^3+n^2+2n) = (n+1)(n^2+n)(n+2)$$

$$= (n^2+n)(n^2+n+2).$$

Следовательно, данная дробь представляется в виде произведения двух натуральных чисел $$n^2+n$$ и $$n^2+n+2$$, разность которых равна двум:

$$(n^2+n+2)-(n^2+n)=2.$$

Ответ

$$\frac{(n+1)^4+n^4-1}{2}=(n^2+n)(n^2+n+2),$$
то есть это произведение двух натуральных чисел, разность которых равна $$2$$.